Punto medio de una racta
viernes, 29 de febrero de 2008
Pendiente y ángulo de inclinación
PENDIENTE Y UN ANGULO DE INCLINACION
Angulo de inclinación.- Sea / una recta no paralela al eje x y que lo interfecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo 0 <>
Angulo de inclinación.- Sea / una recta no paralela al eje x y que lo interfecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo 0 <>
Pendiente de una recta.- Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su àngulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg0.
Criterios de aplicación sobre la pendiente.- El ángulo (0) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre oº <>
a) m es un nùmero positivo, si 0º <>
b) m es un nùmero negativo, si 90º <>
c) m= 0, si 0 = 0º
d) m= &, si 0 = 90º.
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente
Teorema
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:
m=y1 - y2 (sobre)
x1 - x2
siendo x1=/ x2
Demostración: consideramos la recta l, determinada por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2 - y2) y sea 0 su àngulo de inclinación.
Si por P1 y P2 trazamos perpendiculares al eje x (P1 Q1 en R, resulta 0 el ángulo formado por P1 P2 R y, por trigonometría, resulta:
m= tg0 = RP1
P2R
Sean las coordenadas de los puntos Q1 (x1 0), Q2 (x2,0) y R (x1, y2), por lo tanto: RP1 = (y1 - y2) y P2R = Q2Q1= (x1 -x2); al sustituir los valores anteriores en la ecuación de la pendiente, se demuestra el teorema, es decir:
m= tg 0 = RP1=y1 - y2
P2R x1 - x2
o también m=y2 - y1 (todas ban sobre)
x2 - x1
Valor del ángulo de inclinación
A partir de la ecuación m = tg 0, despejando para el ángulo de inclinación, tenemos:
0 = arc tg m
jueves, 28 de febrero de 2008
Area de una región triangular
AREA DE UNA REGION TRIANGULAR
Sean P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) y P3(x3, y3) los vértices de un triángulo, su área se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triángulo al eje x.
El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el área del triangulo P1 P2 P3 es:
A = área del trapecio Q1 Q3 P3 P1
+ área del trapecio Q3 Q2 P2 P3
- área del trapecio Q1 Q2 P2 P1
A = (x3 – x1) {1/2} (y1 + y3) + (x2- x3) {1/2} (y3 + y2) – (x2 – x1) {1/2}(y1 + y2)
A = ½(x3 y1 – x1 y3 + x2 y3 – x3 y2 + x1 y2 – x2 y1)
El área resultante se expresa en una forma más fácil por:
Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono.
Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar la operación.
Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa:
Ejemplo:
Sean P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) y P3(x3, y3) los vértices de un triángulo, su área se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triángulo al eje x.
El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el área del triangulo P1 P2 P3 es:
A = área del trapecio Q1 Q3 P3 P1
+ área del trapecio Q3 Q2 P2 P3
- área del trapecio Q1 Q2 P2 P1
A = (x3 – x1) {1/2} (y1 + y3) + (x2- x3) {1/2} (y3 + y2) – (x2 – x1) {1/2}(y1 + y2)
A = ½(x3 y1 – x1 y3 + x2 y3 – x3 y2 + x1 y2 – x2 y1)
El área resultante se expresa en una forma más fácil por:
Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono.
Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar la operación.
Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa:
Ejemplo:
Distancia entre dos puntos
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las cuales explicaremos a continuación:
1.- Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:
Fórmulas de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1
P1 P2= x2-x1
P2 P1= x1-x2
La fórmula de la distancia no dirigida es:
/P1 P2/ = /x2-x1/ = /x1-x2/
2.- Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralela al eje y), la distancia dirigida entre los dos puntos es:
Fórmula de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1
P1 P2 = y2-y1
P2 P1 = y1-y2
La fórmula de la distancia no dirigida es:
/P1 P2/ = /y2-y1/ = /y1-y2/
3.- Sean P1(x1,y1) y P2(x2,-y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1, paralela al eje x y otra recta que pasa por el punto Q (x2, y1) formando así un triángulo P2 QP1, en el cual identificamos:
/P1 P2/ = hipotenusa = d (distancia)
P1 Q = cateto adyacente = (y2-y1)
QP2 = cateto opuesto = (y2-y1)
Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:
2 2 2
(P1 P2) = (P1 Q) + (QP2)
2 2
P1P2 = (lleva raíz). (P1Q) + (QP2)
2 2
P1P2= (lleva raíz). (X2 – X1) + (Y2 – Y1)
·
· · La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:
2 2
d = (lleva raíz) (X2 – X1) + (Y2 – Y1)
Ejemplos:
La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las cuales explicaremos a continuación:
1.- Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:
Fórmulas de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1
P1 P2= x2-x1
P2 P1= x1-x2
La fórmula de la distancia no dirigida es:
/P1 P2/ = /x2-x1/ = /x1-x2/
2.- Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralela al eje y), la distancia dirigida entre los dos puntos es:
Fórmula de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1
P1 P2 = y2-y1
P2 P1 = y1-y2
La fórmula de la distancia no dirigida es:
/P1 P2/ = /y2-y1/ = /y1-y2/
3.- Sean P1(x1,y1) y P2(x2,-y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1, paralela al eje x y otra recta que pasa por el punto Q (x2, y1) formando así un triángulo P2 QP1, en el cual identificamos:
/P1 P2/ = hipotenusa = d (distancia)
P1 Q = cateto adyacente = (y2-y1)
QP2 = cateto opuesto = (y2-y1)
Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:
2 2 2
(P1 P2) = (P1 Q) + (QP2)
2 2
P1P2 = (lleva raíz). (P1Q) + (QP2)
2 2
P1P2= (lleva raíz). (X2 – X1) + (Y2 – Y1)
·
· · La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:
2 2
d = (lleva raíz) (X2 – X1) + (Y2 – Y1)
Ejemplos:
Sistema de coordenadas cartesianas
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Sistema de coordenadas rectangulares.
Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica.
El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX’ y YY’ llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta XX’ se llama eje X’, la recta YY’ se llama eje Y’; su punto de intersección O es el origen del sistema.
Estos ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
Todo punto P del plano se localiza por medio del sistema rectangular, se traza PQ perpendicular al eje X y PR perpendicular al eje Y, la longitud del segmento dirigido OQ se representa por x y se llama abscisa de P; la longitud del segmento OR se representa por y y se llama ordenada de P. Los números reales x y y se llaman coordenadas rectangulares de P y se representan por: P (x,y).
Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas.
La localización de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto.
Sistema de coordenadas rectangulares.
Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica.
El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX’ y YY’ llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta XX’ se llama eje X’, la recta YY’ se llama eje Y’; su punto de intersección O es el origen del sistema.
Estos ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
Todo punto P del plano se localiza por medio del sistema rectangular, se traza PQ perpendicular al eje X y PR perpendicular al eje Y, la longitud del segmento dirigido OQ se representa por x y se llama abscisa de P; la longitud del segmento OR se representa por y y se llama ordenada de P. Los números reales x y y se llaman coordenadas rectangulares de P y se representan por: P (x,y).
Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas.
La localización de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto.
Antecedentes historicos
ANTECEDENTES HISTORICOS
La historia de las matemáticas considera a Rene Descartes el fundador del sistema matemático moderno y por lo tanto, el padre de la genética analítica.
Descartes provenía de una antigua y noble familia de Normandia. Su madre murió al nacer el, por lo que fue atendido en el colegio de Jesuitas de La Fleche, donde recibió una formación cuidadosa y profunda en temas científicos fundamentada en los libros de Clavius, en los Elementos de Euclides y en temas de Geometría practica y álgebra.
Como voluntario del ejército protestante conoce en Ulm al maestro Faulhaber, quien le ayuda a plantear su filosofía en un campamento invernal de Neuburgo en el Danuvio; por aquel tiempo hace su primer descubrimiento matemático sobre el teorema de Euler, que trata de los poliedros.
Después de abandonar el servicio militar, y con la influencia de Ramée y Montaigne, Rene Descartes deja de lado la filosofía natural tradicional por ser infructuosa con clasificaciones sin contenido e interpretación que conduce, mediante conclusiones propias, de lo complejo a lo sencillo, de la hipótesis a la evidencia; lo que se propone es hacer una matemática sistematizada y severa, y parte únicamente de bases y conceptos escritos, con lenguaje sencillo, claro y precisos para que pueda grabarse fácilmente en la memoria.
Su principal objetivo es unir la geometría con el álgebra, actividad iniciada por Viete; Descartes sustituye las palabras enteras, abreviaturas y notaciones por un simbolismo puro, cuidadosamente ideado, que se ha podido conservar casi integro hasta nuestros días.
Descartes, en su geometría analítica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un número y transforma así la geometría en
Aritmética; como la suma, la resta, la multiplicación y la división de segmentos da lugar a otro segmento, Descartes relaciona los números con las mismas operaciones, y enfrenta problemas puramente algebraicos, ya que sabe que todos los problemas geométricos de carácter lineal y cuadrático pueden resolverse con regla y compás, pues los considera problemas del plano. Descartes quiere resolver gráficamente ecuaciones de grado mayor por curvas algebraicas engendradas paso a paso por mecanismos lineales del movimiento, al usar elementos de referencia en posiciones especiales; resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando operaciones infinitesimales; entre sus ejemplos aclaratorios figuran la concoide y el llamado ovalo de Descartes; habla de la tangente, creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemáticas y que sus métodos de tangente y normales son los más sencillos.
Descartes y Fermat son los inventores de la geometría sobre ejes de coordenadas, donde el álgebra y la geometría se reúnen en el trazado de graficas de ecuaciones y desigualdades.
El calculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII.
Geometría analítica
Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.
La historia de las matemáticas considera a Rene Descartes el fundador del sistema matemático moderno y por lo tanto, el padre de la genética analítica.
Descartes provenía de una antigua y noble familia de Normandia. Su madre murió al nacer el, por lo que fue atendido en el colegio de Jesuitas de La Fleche, donde recibió una formación cuidadosa y profunda en temas científicos fundamentada en los libros de Clavius, en los Elementos de Euclides y en temas de Geometría practica y álgebra.
Como voluntario del ejército protestante conoce en Ulm al maestro Faulhaber, quien le ayuda a plantear su filosofía en un campamento invernal de Neuburgo en el Danuvio; por aquel tiempo hace su primer descubrimiento matemático sobre el teorema de Euler, que trata de los poliedros.
Después de abandonar el servicio militar, y con la influencia de Ramée y Montaigne, Rene Descartes deja de lado la filosofía natural tradicional por ser infructuosa con clasificaciones sin contenido e interpretación que conduce, mediante conclusiones propias, de lo complejo a lo sencillo, de la hipótesis a la evidencia; lo que se propone es hacer una matemática sistematizada y severa, y parte únicamente de bases y conceptos escritos, con lenguaje sencillo, claro y precisos para que pueda grabarse fácilmente en la memoria.
Su principal objetivo es unir la geometría con el álgebra, actividad iniciada por Viete; Descartes sustituye las palabras enteras, abreviaturas y notaciones por un simbolismo puro, cuidadosamente ideado, que se ha podido conservar casi integro hasta nuestros días.
Descartes, en su geometría analítica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un número y transforma así la geometría en
Aritmética; como la suma, la resta, la multiplicación y la división de segmentos da lugar a otro segmento, Descartes relaciona los números con las mismas operaciones, y enfrenta problemas puramente algebraicos, ya que sabe que todos los problemas geométricos de carácter lineal y cuadrático pueden resolverse con regla y compás, pues los considera problemas del plano. Descartes quiere resolver gráficamente ecuaciones de grado mayor por curvas algebraicas engendradas paso a paso por mecanismos lineales del movimiento, al usar elementos de referencia en posiciones especiales; resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando operaciones infinitesimales; entre sus ejemplos aclaratorios figuran la concoide y el llamado ovalo de Descartes; habla de la tangente, creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemáticas y que sus métodos de tangente y normales son los más sencillos.
Descartes y Fermat son los inventores de la geometría sobre ejes de coordenadas, donde el álgebra y la geometría se reúnen en el trazado de graficas de ecuaciones y desigualdades.
El calculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII.
Geometría analítica
Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.
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